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三角形の「三線座標」と「四面体」の「四線座標」(その2)と「内心I」「傍心E_D」の重心座標 2009.02.16(月) 「四面体」にたいして「2次元内接球面」の中心「内心I」の「ベクトルによる重心座標表現」と その半径rの公式や、「傍接球面」の中心、「傍心E_D」のベクトルによる重心座標表現」と その半径r_Dなどを求めるために、新たに「四面体」に関する「四線座標」も導入し、 三角形の「三線座標」と比較しながら同時に考察する。 3. 「四線座標」の導入 (1) 記号の導入: 三角形について:△ABCの面積をSとし、3辺 BC=a,CA=b,AB=cとおく。また頂点A,B,Cから 対辺BC,CA,ABに降ろした「垂線」の足を順にH_A,H_B,H_Cとする。辺BC,CA,ABをそれぞれ 「△ABC」の底辺と見たときの△ABCの「高さ」を順にh_A,h_B,h_Cとするとh_A=A(H_A), h_B=B(H_B),h_C=C(H_C)となる。面積Sが,S=(1/2)a(h_A)=(1/2)b(h_A)=(1/2)c(h_C) と書けるので、 h_A=(2S)/a ,h_B=(2S)/b,h_C=(2S)/c ・・・(3.1.1) である。 四面体について:「四面体ABCD」の「体積」をVとし,△BCD,△ACD,△ABD,△ABCの面積を 順に S_A,S_B,S_C,S_D・・・(3.1.2)と書く。 また頂点A,B,C,Dから対辺の△BCD,△ACD,△ABD,△ABCに 降ろした垂線の足を順にH_A,H_B,H_C,H_Dとおき、△BCD,△ACD,△ABD,△ABCを それぞれ「四面体ABCD」の底面と見たときの高さを順に h_A,h_B,h_C,h_D ・・・(3.1.3) とおく。さすれば h_A=A(H_A),h_B=B(H_B),h_C=C(H_C),h_D=D(H_D)・・・(3.1.4) また、体積V=(1/3)(S_A)(h_A)=(1/3)(S_B)(h_B)=(1/3)(S_C)(h_C)=(1/3)(S_D)(h_D)から h_A=(3V)/S_A ,h_B=(3V)/S_B,h_C=(3V)/S_C ,h_D=(3V)/S_D ・・・(3.1.5) 場合によっては △BCD=S_A ,△ACD=S_B,△ABD=S_C,△ABC=S_D ・・・(3.1.6)と略記する。 以後これらをずっと使用する。 (2) [定義3.1] 四面体ABCDに関する「四線座標」の定義 四面体ABCD⊆E^3(3次元空間)とし、点T∈E^3をとる。点Tから四面体ABCDの各面△BCD,△ACD, △ABD,△ABCに降ろした垂線の足を順にT^A,T^B,T^C,T^D ・・・(3.1.7)とし、 α=点Tから面△BCDまでの距離=T(T^A),β=点Tから面△ACDまでの距離=T(T^B), γ=点Tから面△ABDまでの距離=T(T^C),δ=点Tから面△ABCまでの距離=T(T^D) ・・・(3.1.8) とおき、その符号は、次のように決める。 例えば点Tが「面BCDの造る平面」に関して、頂点Aと反対側にあるときは、α<0 と考える。・・・(3.1.9) このようにして「四面体ABCD」を用いて、3次元空間E^3に「三線座標」を真似て「四線座標」が 導入できることが分かる。また、例えば面△ABC上の点Tに関しては、「四面体」での「四線座標」と 「△ABC」での「三線座標」の2通りが考えられる。このとき、「重心座標」のようには 「四線座標」が「三線座標」の「拡張」とはなってはいないので注意する必要がある。区別するときは、 「三線座標」は(α(3),β(3),γ(3))などと書き、「四線座標」の方は(α(4),β(4),γ(4),δ(4)) などで表すことにする。 点Tの「四線座標」の「一意性」は定かではないが、「四面体ABCD」に関する「重心座標」の 「一意性」とこれから述べる[命題3.2]以降によって、明らかになるだろう。 ー △ABC」に関する「三線座標」及び「四面体ABCD」に関する「四線座標」と「重心座標」との関係 [命題3.2] (1) 四面体ABCD⊆E^3(3次元空間)とし、点T∈E^3をとる。Tの「重心座標」を(κ,λ,μ,ν) かつ κ+λ+μ+ν=1,「四線座標」を(α,β,γ,δ)とする。 「κ≠1 ⇒ α=(3V/S_A)κ」,「λ≠1 ⇒ β=(3V/S_B)λ」 「μ≠1 ⇒ γ=(3V/S_C)μ」,「ν≠1 ⇒ δ=(3V/S_D)ν」・・・(3.2.1) が成立する。 (2) 四面体ABCD⊆E^3(3次元空間)とし、点T∈E^3をとる。Tの「四線座標」を(α,β,γ,δ)とする。 Tの「重心座標」を(κ,λ,μ,ν)、κ+λ+μ+ν=1とする。 κ≠1 かつλ≠1 かつ μ≠1 かつν≠1 ・・・(3.2.2)のときは (S_A)α+(S_B)β+(S_C)γ+(S_D)δ=3V ・・・(3.2.3) が成立する。 (3) △ABC⊆E^2(平面)とし、点T∈E^2をとる。Tの「重心座標」を(κ,λ,μ)かつ κ+λ+μ=1、「三線座標」を(α,β,γ)とする。 「κ≠1 ⇒ α=(2S/a)κ」, 「λ≠1 ⇒ β=(2S/b)λ」 「μ≠1 ⇒ γ=(2S/c)μ」 ・・・(3.2.4) が成立する。 (4) △ABC⊆E^2(平面)とし、点T∈E^2をとる。Tの「重心座標」を(κ,λ,μ)かつ κ+λ+μ=1,「三線座標」を(α,β,γ)とする。 κ≠1 かつ λ≠1 かつ μ≠1 ・・・(3.2.5) のときは aα+bβ+cγ=2S ・・・(3.2.6) が成立する 「証明」 (2)について: まず(1)が成り立つとして(2)を証明する。 α=(3V/S_A)κ,β=(3V/S_B)λ,γ=(3V/S_C)μ,δ=(3V/S_A)ν より、 (S_A)α=(3V)κ,(S_B)β=(3V)λ,(S_C)γ=(3V)μ,(S_D)δ=(3V)ν ・・・(3.2.7) ゆえに (S_A)α+(S_B)β+(S_C)γ+(S_D)δ=(3V)(κ+λ+μ+ν)=(3V)×1=3V よって(3.2.3)が成り立つ。 (4)について: まず(3)が成り立つとして(4)を証明する。 α=(2S/a)κ,β=(2S/b)λ,γ=(2S/c)μ より aα=(2S)κ,bβ=(2S)λ,cγ=(2S)μ ・・・(3.2.8) ゆえにaα+bβ+cγ=(2S)κ+(2S)λ+(2S)μ=(2S)(κ+λ+μ)=2S×1=2S よって(3.2.6)が成り立つ。 (1)について: それでは(1)を証明しよう。 点Tの「四面体ABCD」に関する「重心座標」(κ,λ,μ,ν)、κ+λ+μ+ν=1について 「 κ≠1 ⇒ α=(3V/S_A)κ」を証明する。 κ≠1であるから T≠A となり(∵[系2.3])直線ATは「△BCDの造る平面」と1点T_Aで交わり、 [命題2.7]から (→T(T_A))=κ(→A(T_A)) となる。H_Aは頂点Aから下した垂線の足だった。 (ア)0<κ<1 のとき、直線AT上に3点 A,T,T_Aがこの順に並び、また線分A(H_A)が頂点Aからの 「垂線」として存在する。点Tから「△BCDの造る平面」に「垂線」を引きその足をT^Aとおく。 T(T^A)=α>0 である。T_A≠H_Aとしよう。△A(T_A)(H_A)∽△T(T_A)(T^A)となるから ⇒ A(T_A):T(T_A)= A(H_A):T(T^A) ・・・(3.2.9)となる。 (→T(T_A))=κ(→A(T_A))から A(T_A) T(T_A)=1:κ, T(T^A)=α,(3.1.5)から A(H_A)=h_A=(3V)/S_A だから (3.2.9) は 1:κ=h_A:α ⇒ α=(h_A)κ=(3V/S_A)κ ゆえに (3.2.1)の第1式が成立。 これで α=(3V/S_A)κ が証明された。T_A=H_A のときは(→T(T_A))=κ(→A(T_A))は (→T(H_A))=κ(→A(H_A)) ・・・(3.2.10)となり α=T(H_A) ,A(H_A)=h_A だから (3.2.10)から α=κ(h_A)=(3V/S_A)κ となり、(3.2.1)の第1式が成立。 (イ)κ=0 のとき (→T(T_A))=κ(→A(T_A))=(→0)からT=T_A∈「△BCDの造る平面」 ゆえにα=0 よって α=(3V/S_A)κは両辺とも「0」となり成立する。 (ウ)κ 0のとき、四面体ABCDの面△BCDを底面、頂点Aを上方にもってきたとき、点Tは底面の△BCD よりも下方にある。直線AT上には頂点A、交点T_A、点Tの順に上方から並んでいる。 α=T(T^A)<0である。T_A≠H_Aとしよう。△T(T^A)(T_A)∽△A(H_A)(T_A) である。 よって A(T_A):T(T_A)=A(H_A):T(T^A) すなわち 1:(−κ)=h_A:(−α) ⇒ α=(h_A)κ=(3V/S_A)κ つまり α=(3V/S_A)κ T_A=H_A のときは (→T(T_A))=κ(→A(T_A))は (→T(H_A))=κ(→A(H_A)) ・・・(3.2.11) となる。α=T(H_A) A(H_A)=h_A から (−α)=(−κ)(h_A) これから (ア)と同様に式がでる。 (エ) κ>1のとき (→T(T_A))=κ(→A(T_A))から点Tは「四面体ABCD」の上方にあり、 直線AT上に上方から点T、頂点A,交点T_Aの順に並んでいる。T_A≠H_Aとしよう。 △(T_A)A(H_A)∽△(T_A)T(T^A) ⇒ A(T_A):T(T_A)=A(H_A):T(T^A) すなわち 1:κ=h_A:α よって α=κ(h_A)=(3V/S_A)κ となる。T_A=H_Aのときも 式がでる。 以上により、「κ≠1 ⇒ α=(3V/S_A)κ」が証明された。 (3.2.1)の他の式も同様である。 こうして、[命題3.2]の(1)が「証明」された。 [命題3.2]の (3),(4)が「三線座標」の場合で(3)はh_Aなどで (3.1.5)の代わりに(3.1.1)を使えば同様にできる。 ([命題3.2]の「証明」終わり) [命題3.3] (1) 四面体ABCD⊆E^3(3次元空間)とし、点T∈E^3をとる。Tの「重心座標」を (κ,λ,μ,ν)かつ κ+λ+μ+ν=1,「四線座標」を(α,β,γ,δ)とする。このとき α=(3V/S_A)κ,β=(3V/S_B)λ,γ=(3V/S_C)μ,δ=(3V/S_A)ν ・・・(3.3.1) が成立する。 (2) 四面体ABCD⊆E^3(3次元空間)とし、点T∈E^3をとる。Tの「四線座標」を(α,β,γ,δ)とする。 このとき (S_A)α+(S_B)β+(S_C)γ+(S_D)δ=3V ・・・(3.3.2) が成立する。 (3) △ABC⊆E^2(平面)とし、点T∈E^2をとる。Tの「重心座標」を(κ,λ,μ)かつ κ+λ+μ=1、「三線座標」を(α,β,γ)とする。このとき α=(2S/a)κ,β=(2S/b)λ,γ=(2S/c)μ ・・・(3.3.3) が成立する。 (4) △ABC⊆E^2(平面)とし、点T∈E^2をとる。Tの「三線座標」を(α,β,γ)とする。 このとき aα+bβ+cγ=2S ・・・(3.3.4) が成立する。 「証明」 (1) で κ≠1 かつλ≠1 かつ μ≠1 かつ ν≠1 および(3)でκ≠1 かつλ≠1 かつ μ≠1の場合は [命題3.2]から(1)(2)(3)(4)は成り立つ。 そこで(1)では、 「κ=1 または λ=1 または μ=1 または ν=1」・・・(3.3.5)のときに「証明」をすればよい。 また(3)では 「κ=1 または λ=1 または μ=1」 ・・・(3.3.6) のときに「証明」をすればよい。 (1)について: κ=1 または λ=1 または μ=1 または ν=1 ・・・(3.3.5)とする。 点T∈E^3をとる。Tの「重心座標」を (κ,λ,μ,ν)かつ κ+λ+μ+ν=1, 「四線座標」を(α,β,γ,δ)とする。 そして κ=1とする。 (ア) T=A のときは、頂点A」の「重心座標」は (κ,λ,μ,ν)=(1,0,0,0)で(3.1.5)から α=T(T^A)=h_A=(3V/S_A)、 κ=1だから α=(3V/S_A)κ がやはり成立する。 (イ) κ=1でT≠A とすると [系2.3]から (→AT)//「△BCDの造る平面」であり、 よって、またα=T(T^A)=h_A=(3V/S_A),κ=1だから α=(3V/S_A)κ が成立する。 (ウ) κ=1のとき、λ+μ+ν=0 で 「ベクトルによる重心座標表現」は 任意の点 P∈E^n(ただしn≧3)にたいし (→PT)=(→PA)+λ(→PB)+μ(→PC)+ν(→PD) ・・・(3.3.7) となる。ここで もし λ≠1ならば[命題3.2]から β=(3V/S_A)κ が成立する。 そこで、さらにλ=1とすれば、Tの重心座標は(1,1,μ,ν) ,1+μ+ν=0 となる。 よって T≠Bである。 λ=1だから「系2.3」と同様にして (→BT)//「△ACDの造る平面」となる。ゆえに β=T(T^B)=h_B=(3V/S_B)となる。λ=1なので β=(3V/S_B)λが成立する。次にμ≠1ならばT≠Cで [命題3.2]からγ=(3V/S_C)μが成立する。 そこで (エ)κ=1 かつ λ=1かつ μ=1としよう。するとκ+λ+μ+ν=1からν=−2 となる。 μ=1だから (→CT)//「△ABDの造る平面」となる。 よって γ=T(T^C)=h_C=3V/S_C そしてμ=1 なのでγ=(3V/S_C)μ が成立する。 そして ν=−2なのでν≠1であり、(→DT)//「△ABDの造る平面」とはならない。 ゆえに δ=(3V/S_D)ν が成立する。 以上により κ=1 かつ λ=1かつ μ=1かつν=−2のときも α=(3V/S_A)κ,β=(3V/S_B)λ,γ=(3V/S_C)μ,δ=(3V/S_D)ν ・・・(3.3.1)が成立する。 (オ) この κ=λ=μ=1かつ ν=−2のときを図形的に考えてみよう。点Tは「四面体ABCD」に関して どこにくるのか調べてみる。κ=λ=μ=1かつ ν=−2より 点Tの「ベクトルによる重心座標表現」は (→PT)=(→PA)+(→PB)+(→PC)−2(→PD) ・・・(3.3.7)だから 特に P⇒D とおくと (→DT)=(→DA)+(→DB)+(→DC) ・・・(3.3.8) そこで△ABCの重心をG_D とおくと G_D の「四面体ABCD」に関する「ベクトルによる重心座標表現」は (→PG_D)=1/3(→PA)+1/3(→PB)+1/3(→PC)+0×(→PD)・・・(3.3.9) 。G_Dの「四面体ABCD」 に関する「重心座標」は(1/3,1/3,1/3,0) 、△ABCに関する「重心座標」は(1/3,1/3,1/3)で あって(3.3.9)で特にP=D とおいて (→DG_D)=1/3[(→DA)+(→DB)+(→DC)] ・・・(3.3.10) これと(3.3.8)から (→DT)=3(→DG_D) ・・・(3.3.11)となる。ゆえに(→DT)はDから対面の △ABCに向かってその重心G_Dを通り、DG_Dの長さを3倍にしたもので、Tは四面体ABCDの外部の所にある。 つまり D(G_D):(G_D)T=1:2 ・・・(3.3.12)となる。T_D=G_Dであり、 T(T^D)=δはδ<0である。 すなわち (→DT)は「△ABCの造る平面」とは平行にはならず、 T(T^D):D(H_D)=T(G_D):D(G_D)=(−2) 1 ⇒ δ:h_D=(−2):1 ⇔ δ=(h_D)×(−2) ・・・(3.3.13) h_D=3V/S_D ,ν=−2だから (3.3.13)は δ=(3V/S_D)ν となる。 このようにして、κ=1から始めてλ,μ,νとやっていって、 α=(3V/S_A)κ,β=(3V/S_B)λ,γ=(3V/S_C)μ,δ=(3V/S_D)ν ・・・(3.3.1) が成立する。 よって他の場合も(3.2.2)は成立する。ゆえに(2),(4)も成立する。 ([命題3.3]の「証明」終わり) [命題3.4] (1)四面体ABCD⊆E^3(3次元空間)とし、点T∈E^3の「重心座標」 (κ,λ,μ,ν),κ+λ+μ+ν=1 と「四線座標」(α,β,γ,δ)の間には[命題3.3]の(1)の 関係が成立し、1対1の対応がある。「四線座標」では、点が異なれば「四線座標」も異なる。 (2) △ABC⊆E^2とし、点T∈E^2の「重心座標」(κ,λ.μ),κ+λ+μ=1 と「三線座標」(α,β,γ)の 間には[命題3.3]の(3)の関係が成立し、1対1の対応がある。「三線座標」では、点が異なれば 「三線座標」も異なる。 ☆ 最後に、「重心座標」、「三線座標」、「四線座標」ともその比さえ分かればよいときもある。 4. 例えば (1)「内心I]では、内接円,または2次元の内接球面の半径をr>0とすれば 三角形では (α,β,γ)=(r,r,r)、四面体では(α,β,γ,δ)=(r,r,r,r)がそれぞれ 真の「三線座標」と「四線座標」である。その比を考えると、それぞれ α:β:γ=1:1:1, α(4):β(4):γ(4):δ(4)=1 1 1 1となる。 (2)「重心G」では、「△ABC」のその真の「三線座標」は(α,β,γ)=(2S/3a,2S/3b,2S/3c) その比は α:β:γ=1/a:1/b:1/c、「四面体ABCD」では、その真の「四線座標」は (α,β,γ,δ)=(3V/4S_A,3V/4S_B,3V/4S_C,3V/4S_D)で、「四線座標」の比は α β:γ:δ=1/S_A:1/S_B:1/S_C:1/S_D ・・・(4.1.1) (3) 「内心I」の「ベクトルによる重心座標表現」を求めてみよう。 任意の点P∈E^nにたいし、その「ベクトルによる重心座標表現」を (→PI)=κ(→PA)+λ(→PB)+μ(→PC)+ν(→PD) ・・・(4.1.2) かつ κ+λ+μ+ν=1・・・(4.1.3) とし、「内接球面」の半径をr(r>0)とする。 また「四線座標」を(α,β,γ,δ)とする。 「内心I」から「△BCDの造る平面」、「△ACDの造る平面」、「△BDの造る平面」、 「△ABCの造る平面」へ降ろした「垂線」の足を順にI^A,I^B,I^C,I^Dとすれば 求める条件は r=I(I^A)=I(I^B)=I(I^C)=I(I^D) ・・・(4.1.4) このI(I^A)=α,I(I^B)=β,I(I^C)=γ,I(I^D)=δ だから(4.1.4)は r=α=β=γ=δ ・・・(4.1.5) ここで[命題3.3]の(1)から α=(3V/S_A)κ,β=(3V/S_B)λ,γ=(3V/S_C)μ,δ=(3V/S_D)ν だから(4.1.5)は r=(3V/S_A)κ=(3V/S_B)λ=(3V/S_C)μ=(3V/S_D)ν ・・・(4.1.6) となり、 これをκ+λ+μ+ν=1・・・(4.1.3)のもと、5つの方程式で、5つの未知数κ,λ,μ,νとrを 解けばよい。 (4.1.6)にたいしていわゆる「加比の理」を用いれば、 r=(3V/S_A)κ=(3V/S_B)λ=(3V/S_C)μ=(3V/S_D)ν =(3Vκ+3Vλ+3Vμ+3Vν)/(S_A+S_B+S_C+S_D)=(3V)(κ+λ+μ+ν)/(S_A+S_B+S_C+S_D) =(3V)/(S_A+S_B+S_C+S_D) よって r=(3V)/(S_A+S_B+S_C+S_D)・・・(4.1.7) κ=S_A/(S_A+S_B+S_C+S_D)、λ=S_B/(S_A+S_B+S_C+S_D), μ=S_C/(S_A+S_B+S_C+S_D),ν=S_D/(S_A+S_B+S_C+S_D)・・・(4.1.8) と解けた。これらを(4.1.2)に代入して、次の「定理4.2]が得られた。 「定理4.2] 「四面体ABCD」の2次元の「内接球面」の半径をr( r>0)とし「内心」をIとしたとき、 「内心I」の「ベクトルによる重心座標表現」は 任意の点P∈E^n(ただし n≧2) にたいして (→PI)=[1/(S_A+S_B+S_C+S_D)]×[(S_A)(→PA)+(S_B)(→PB)+(S_A)(→PC)+(S_D)(→PD)] ・・・(4.2.1) その半径rは r=(3V)/(S_A+S_B+S_C+S_D)・・・(4.2.2) detJ(3)=(6V)^2 だから (4.2.2)は r=√[detJ(3)]/2(S_A+S_B+S_C+S_D) ・・・(4.2.3)とも表現される。 ☆ 同様に「角D内で△ABCで『傍接する』傍接球面」の「中心」を「E_D」で表せば。 「傍心E_D」の「ベクトルによる重心座標表現」は 任意の点P∈E^n(ただし n≧2) にたいして (→PE_D)=[1/(S_A+S_B+S_C−S_D)]×[(S_A)(→PA)+(S_B)(→PB)+(S_A)(→PC)−(S_D)(→PD)] ・・・(4.2.4) 2F=S_A+S_B+S_C+S_D とおけば、 (→PE_D)=[1/2(F−S_D)]×[(S_A)(→PA)+(S_B)(→PB)+(S_A)(→PC)−(S_D)(→PD)] そして、この傍接球面の半径r_Bは r_D=(3V)/(S_A+S_B+S_C−S_D)=√[(detJ(3)]/2(S_A+S_B+S_C−S_D) =√[detJ(3)]/4(F−S_D) ・・・(4.2.5) などとなる。三角形の場合も容易に求まる。これらはまた、次回に示そう。
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Minotaur Heavy Cannon -ミノタウロス ヘビーキャノン- 敵船をノックバックさせる特殊な支援兵器。 船の重心から遠ざかるほど、より多くの回転が加えられ、船を射界から押し出すことになります。 各種性能 銃のステータス 種別 レイキャスト サイズ 重量砲 直撃ダメージ 72[ピアッシング]散弾1発ごとに18 爆発部分ダメージ 180[シャッター]散弾1発ごとに45 爆発半径 0m アーミングタイム - 発射速度 0.67発/秒 リロード時間 10秒 装弾数 5発 弾速 700m/s 有効射程 1800m ジッター 2° 散弾一発ごとにノックバックを引き起こす。重心から離れるほど回転する力が加わる。 動きと射角、照準 水平角度 左40°、右40° 垂直角度 上30°、下20° 水平回転 40°/秒 垂直回転 40°/秒 ズーム倍率 ×1.5 説明 ミノタウロスヘビーキャノン。キャノンの名前ではあるが、性能はどちらかというとカロネードに近い。 直撃ダメージが[ピアッシング]属性、爆発ダメージは[シャッター]属性。 [シャッター]属性かつレイキャストタイプの散弾なので、弾道が重力の影響を受けないうえ、弾速もかなり早い。 この特性からある程度狙ってエンジンや砲座を破壊できる。 一見アーマーやコンポーネント破壊用の武器だが、能動的にノックバックを起こす点が最大の特徴となっており、本質は支援用の色が強い。 敵船の先端に当ててコースをそらしたり、後ろや上から当てて地形にぶつけたりといったことができる。 敵船の向きをコントロールすることで火力集中域をこちらに向けさせないようにする、防御的な使い方も考えられる。 ノックバックを起こせる砲座はほかにNemesis Heavy CarronadeやPhobos Mine Launcherがある。 しかし、Nemesis Heavy Carronadeのノックバック性能は本砲よりはるかに小さい。 Phobos Mine Launcherについては機雷であり、能動的にノックバックを狙うことが難しい。 したがって、ノックバック効果を戦略に組み込むなら実質この武器一択となる。 射界はまあまあ広く、旋回速度も重量砲にしては優秀。 レイキャストタイプでもあり、弾道が放物線を描かず真っ直ぐ飛ぶことから、命中も狙いやすい。 しかし弾道が見えないという欠点もあり、弾速も早いとはいえ即着弾するわけでもないので、外した時にどう補正したらよいかが判断しづらい。 リロードも遅いので、リカバリーが難しい他、このリロード速度を考えるとダメージ効率はやや低い。 散弾であることから遠距離ではフルヒットしない可能性があり、威力が安定しないなど、全体的に攻撃性能はやはり高くない。 戦術 敵船の先端に当ててスピンさせることで射界から逃れる防御的な使用方法や、後ろから当てて地形にぶつける攻撃的な使用方法がある。 重量砲においては貴重な[ピアッシング]属性も持っているため、[エクスプローシブ]属性の武器と組み合わせることもできなくはない。 ノックバックの影響は軽い船ほど大きくなるため、軽量級の船にはかなり有効。 スピンについてはパイロットツールKerosene等で対策されてしまうこともある。 長射程の散弾で、一度に多数ヒットすることが特に重要な砲座なので、遠距離で戦う場合はHeavy Clipが有効。 集弾性が向上することで、遠くからでも敵船の操作が可能となる。 Greased Roundsを使用し近距離での性能を向上させることもできる。 ノックバック性能は攻撃力と関係なく一律なため、単純に装弾数と連射性能が上がることによって効果が上がってくれる。 小ネタ Minotaur(ミノタウロス)はかなり有名な牛頭の怪物。ギリシャ神話に登場する。 牛の強烈な突進とノックバック効果が由来になっているのだろうか。
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三角形の内心,傍心,垂心,外心 の重心座標と三線座標 2009.7.15(水) 記号の約束 mは自然数、E^mでm次元ユークリッド空間を表すものとし、「ベクトルAB」などを(→AB)などで表す。 また、「三角形ABC」の3辺BC,CA,ABをBC=a,CA=b,AB=cとし、その面積をSで表す。 1.三角形の「三線座標」の大雑把な復習 △ABC⊆E^2⊆E^m (m≧2)としておく。 よくやるように 2s=a+b+c …(1.1.1) とおく。 「△ABC」で頂点Aから底辺BCに下した垂線の足をH_Aとし、その長さ(高さ)をh_Aとする。 同様に、頂点B,Cからの垂線を考えてCA上に点H_B,AB上に点H_Cをとり、h_B=BH_B,h_C=CH_C …(1.1.2) とする。 E^2内の任意の点Tにたいし、点Tから底辺BCまでの「符号つき距離」をα, 点Tから底辺CAまでの「符号つき距離」をβ,点Tから底辺ABまでの「符号のつき距離」をγとする。 ここで、点Tから底辺BCまでの「符号つき距離α」とは「点Tから直線BCに下した垂線の長さ」で、 その「符号」は次のように定める。点Tから直線BCに下した「垂線の足」を例によって「T^A」 などとして T(T^A)=α であるが、 (ア) 点Tが直線BCに関して、頂点Aと同じ側にあるとき、T(T^A)=α>0 (イ) 点Tが「直線BC上にある」とき、 T(T^A)=α=0 (ウ) 点Tが直線BCに関して、頂点Aと反対側にあるとき、T(T^A)=α<0 …(1.1.3) と定めるのである。 このような3つの実数の組(α,β,γ)はE^2内の点Tによって「一意的」に定まる。 この3つの実数の組(α,β,γ)を点Tの△ABCに関する「三線座標」,または単に「三線座標」とよぶ。 「注意:この符号つき距離の「符号」は次のように考えてもよい。 ◎ベクトル(→AH_A)は「零ベクトルではない」から、(→AH_A)の向きを「正」と考えるのである。 そして (ア)(→TT^A)≠(→0)で、(→TT^A)と(→AH_A)が同じ向きに平行なとき、TT^A=α>0 (イ)(→TT^A)=(→0)のとき、 TT^A=α=0 (ウ) (→TT^A)≠(→0)で、(→TT^A)と(→AH_A)が反対向きに平行なとき、TT^A=α<0 …(1.1.4) 「命題1.2.1] h_A=(2S)/a,h_B=(2S)/b ,h_C=(2S)/c …(1.1.5) 「証明」 面積の式 (1/2)a(h_A)=(1/2)b(h_B)=(1/2)c(h_C)=S からでる。 (「証明」終わり) 「命題1.2.2」 E^2内の任意の点Tの重心座標を(κ,λ,μ),κ+λ+μ=1とすると、任意の点P∈E^mに対して、 (→PT)=κ(→PA)+λ(→PB)+μ(→PC) …(1.2.1) となる。 このとき、κ≠1ならば、 直線ATは、直線BCと唯1点T_Aで交わる。 「κ≠1のときに限り」、AT:TT_A=1−κ:κ …(1.2.2) かつ A(T_A):T(T_A)=1:κ …(1.2.3) 「証明」 証明はこのブログの「2009.05.28(木)」の [命題1.1]および、[命題1.3]の AT:T(T_A)=(1−κ):κ …(1.1.9) と同様にできるので、そちらを見るか、 もっと古いのでは「2009.02.18」のブログ「 」を見て下さい。 ポイントは 「t≠1で(→AT)=(1−t)(→AT_A)とするとき、t=κとなる」ことで、 t=κ かつ (→AT)=(1−κ)(→AT_A) であるから、 (→T(T_A))=(→AT_A)−(→AT)=(→AT_A)−(1−κ)(→AT_A)=κ(→AT_A) すなわち κ≠1のときは、(→T(T_A))=κ(→AT_A) …(1.2.4)からわかる。これから (1.2.2) ,(1.2.3)がでてくるのである。なお κ=1のときは別に考えるのだった。 (「証明」終わり) 次の「命題1.3」は「命題1.2.2」のA(T_A):T(T_A)=1:κ …(1.2.3)と三角形の相似を使う。 「命題1.3」 「重心座標」と「三線座標」との関係 △ABC⊆E^2⊆E^m (m≧2)としておく。 E^2内の任意の点Tの重心座標を(κ,λ,μ),κ+λ+μ=1 …(1.3.1)とし、「三線座標」を(α,β,γ)と すれば α=(2S/a)κ ,β=(2S/b)λ ,γ=(2S/c)μ …(1.3.2) また aα+bβ+cγ=2S …(1.3.3) ここに、Sは三角形ABCの面積、a=BC,b=CA,c=AB である。 「証明」 (1) κ≠1のときは、「命題1.2.2」の(1.2.3)から A(T_A):T(T_A)=1:κ …(1.3.4) そこでTが直線BC上になく、(→AT)が「直線BCと垂直でない場合」だけ証明しておく。α=T(T^A)である。 △A(T_A)(H_A)∽△T(T_A)(T^A)だから A(H_A):T(T^A)=A(T_A):T(T_A)=1:κ (∵ (1.3.4) ) つまり h_A:α=1 κ …(1.3.5) ⇒ α=(h_A)κ …(1.3.6) ここで「命題1.2.1」の(1.1.5)から h_A=(2S)/a,よって (1.3.6)は α=(2S/a)κ …(1.3.7) となる。 (2) κ=1のときは、(→AT)は「点Aを通って底辺BCに平行な直線上」にあり、 したがって α=T(T^A)=h_A また κ=1なので α=(h_A)κ …(1.3.6)がやはり成り立つ。 よって 「命題1.2.1」の(1.1.5)から α=(2S/a)κ …(1.3.7) となる。 同様に β=(2S/b)λ ,γ=(2S/c)μ も β=(h_B)λ ,γ=(h_C)μ からでる。 (3) 次に(1.3.2),(1.3.1)から aα+bβ+cγ=(2S)κ+(2S)λ+(2S)μ=(2S)(κ+λ+μ)=(2S)×1=2S となって (1.3.3)が示された。 2. それでは、△ABCの「内心I」と「傍心E_A」の「ベクトルによる重心座標表現」を求めよう。 「命題2.1」 △ABC⊆E^2⊆E^m (m≧2)としておく。また △ABCの面積をSとし、a=BC,b=CA,c=AB とする。 △ABCの「内心I」の「ベクトルによる重心座標表現」は、任意の点P∈E^m に対して (→PI)=[1/(a+b+c)][a(→PA)+b(→PB)+c(→PC)] …(2.1.1) =[1/(2s)][a(→PA)+b(→PB)+c(→PC)] …(2.1.2) また 「内接円I」の半径をrとおけば r=(2S)/(a+b+c)=(2S)/(2s)=S/s …(2.1.3) ここで 例によって 2s=a+b+c としている。 「証明」 「内心I」から辺BC,CA,ABに下した垂線の足をそれぞれ、I^A,I^B,I^Cとおく。 「内心I」の「三線座標」を(α,β,γ)とおけば α=I(I^A),β=I(I^B),γ=I(I^C)である。 また、任意の点P∈E^m に対して「内心I」の「ベクトルによる重心座標表現」を (→PI)=κ(→PA)+λ(→PB)+ν(→PC) …(2.1.4) かつ κ+λ+μ=1 …(2.1.5) とし、「内接円」の半径をrとおけば、「内心I」はまず△ABCの「内部」にあるから κ>0,λ>0,μ>0 …(2.1.6) かつ I(I^A)=I(I^B)=I(I^C)=r すなわち α=β=γ=r …(2.1.7) これに「命題1.3」の(1.3.2)を代入して(2.1.7)は (2S/a)κ=(2S/b)λ=(2S/c)μ=r つまり、 (2Sκ)/a=(2Sλ)/b=(2Sμ)/c=r …(2.1.8) この κ,λ,μとrの連立方程式を κ+λ+μ=1 かつ κ>0,λ>0,μ>0 …(2.1.6)の基で解けばよい。 そこでいわゆる「加比の理」を用いて r=(2Sκ/a)=(2Sλ/b)=(2Sμ/c) =[(2Sκ)+(2Sλ)+(2Sμ)]/(a+b+c) =(2S)[κ+λ+μ]/(a+b+c)=(2S)/(a+b+c) ( ∵ (2.1.5)のκ+λ+μ=1) ゆえに r=(2S)/(a+b+c) かつ κ=a/(a+b+c) ,λ=b/(a+b+c),μ=c/(a+b+c) となるが、 これは(2.1.5)(2.1.6)を満たす。 よって (2.1.4)は (→PI)=a/(a+b+c)(→PA)+b/(a+b+c)(→PB)+c/(a+b+c)(→PC) =[1/(a+b+c)][a(→PA)+b(→PB)+c(→PC)] (「命題2.1」の「証明」終わり ) 次に「角A内の傍心E_A」の「ベクトルによる重心座標表現」を求めよう。 「命題2.2」 △ABC⊆E^2⊆E^m (m≧2)としておく。また △ABCの面積をSとし、a=BC,b=CA,c=AB とする。 △ABCの「傍心E_A」の「ベクトルによる重心座標表現」は、任意の点P∈E^m に対して (→PE_A)=[1/(−a+b+c)][ーa(→PA)+b(→PB)+c(→PC)] …(2.2.1) =[1/{2(s−a)}][ーa(→PA)+b(→PB)+c(→PC)] …(2.2.2) また 「傍接円E_A」の半径をr_Aとおけば r_A=(2S)/(−a+b+c)=(2S)/{2(s−a)}=S/(s−a) …(2.2.3) 「証明」 「傍心E_A」から辺BC,CA,ABに下した垂線の足をそれぞれ、(E_A)^A,(E_A)^B,(E_A)^Cとおく。 「傍心E_A」の「三線座標」を(α,β,γ)とおけば α=E_A((E_A)^A),β=E_A((E_A)^B),γ=E_A((E_A)^C)である。 ただし、α<0,β>0,γ>0 …(2.2.4)である。 また、任意の点P∈E^m に対して「傍心E_A」の「ベクトルによる重心座標表現」を (→PE_A)=κ(→PA)+λ(→PB)+μ(→PC) …(2.2.5) かつ κ+λ+μ=1 …(2.2.6) とし、「傍接円E_A」の半径をr_Aとおけば、「傍心E_A」はまず△ABCの外部で 「辺BCに関して頂点Aと反対側」にあり、∠BACの造る領域内にあるから κ<0,λ>0,μ>0 …(2.2.7) そして(2.2.4)からα=E_A((E_A)^B) 0,β=E_A((E_A)^B)>0,γ=E_A((E_A)^C)>0に注意して、 もう 一つの 条件は −E_A((E_A)^A)=E_A((E_A)^B)=E_A((E_A)^C)=r_A すなわち −α=β=γ=r_A …(2.2.8) これに「命題1.3」の(1.3.2)を代入して(2.2.8)は −(2S/a)κ=(2S/b)λ=(2S/c)μ=r_A …(2.2.9) この κ,λ,μとr_Aの連立方程式を κ+λ+μ=1 かつ κ 0,λ>0,μ>0 …(2.2.10)の基で解けばよい。 そこで r_A=−(2S/a)κ=(2S/b)λ=(2S/c)μ を r_A=(2Sκ/−a)=(2Sλ/b)=(2Sμ/c) と変形して「加比の理」を用いれば r_A=(2Sκ/−a)=(2Sλ/b)=(2Sμ/c)=[(2Sκ)+(2Sλ)+(2Sμ)]/(−a+b+c) =(2S)[κ+λ+μ]/(−a+b+c)=(2S)/(−a+b+c) ( ∵ (2.2.6)のκ+λ+μ=1) ゆえに r_A=(2S)/(−a+b+c) かつ κ=−a/(−a+b+c) ,λ=b/(−a+b+c),μ=c/(−a+b+c) となるが、 これは(2.2.6)(2.2.7)を満たす。 よって (2.2.5)は (→PE_A)=−a/(−a+b+c)(→PA)+b/(−a+b+c)(→PB)+c/(−a+b+c)(→PC) =[1/(−a+b+c)][−a(→PA)+b(→PB)+c(→PC)] そして −a+b+c=(a+b+c)−2a=2s−2a=2(s−a)より成り立つ。 (「命題2.2」の「証明」終わり ) 「命題2.3」 (1) △ABCの「内心I」の真の「三線座標」は ((2S)/(a+b+c),(2S)/(a+b+c),(2S)/(a+b+c)) よって 「内心I」の「三線座標」の比は 1:1:1 となる。 (2) △ABCの「傍心E_A」の真の「三線座標」は (ー(2S)/(−a+b+c),(2S)/(−a+b+c),(2S)/(−a+b+c)) よって 「傍心E_A」の「三線座標」の比は ー1:1 1 となる。 3. 「命題1.2.2」で、「κ≠1のときに限り」、AT:TT_A=1−κ:κ …(1.2.2) かつ A(T_A):T(T_A)=1:κ …(1.2.3) としたが、この「κ≠1」という「制限を外すことはできない。」 次の例を考えてみよう。 [命題3.1] △ABC⊆E^2⊆E^m (m≧2)としておく。また△ABCの面積をSとし、a=BC,b=CA,c=ABとする。 点Tの「重心座標」を(κ,λ,μ) ,κ+λ+μ=1としておく。 (1) Tが「垂心H」のときに、κ=1となるのは、「垂心H」が「頂点A」のときである。つまり、 κ=1 ⇔ △ABCは∠A=90°の直角三角形で、「垂心H」=「頂点A」のときである。 (2) Tが「外心O」のときに、κ=1となるのは、B=C+90°または C=B+90°のときで、 このとき、(→AO)//「直線BC」であって、外接円の半径をRとして、 (ア)B=C+90°のときは「外心O」の「重心座標」は (κ,λ,μ)=(1,−1/(2sinA),1/(2sinA)) …(3.1.1)であり、 「外心O」の「ベクトルによる重心座標表現」は (→PO)=(→PA)−1/(2sinA)(→PB)+1/(2sinA)(→PC) つまり (→AO)=1/(2sinA)(→BC) …(3.1.2) となる。(→AO)は(→BC)と同じ向きに平行で、その長さ|(→AO)|=R (イ)C=B+90°のときは「外心O」の「重心座標」は (κ,λ,μ)=(1,1/(2sinA),−1/(2sinA)) …(3.1.3)であり、 「外心O」の「ベクトルによる重心座標表現」は (→PO)=(→PA)+1/(2sinA)(→PB)−1/(2sinA)(→PC) つまり (→AO)=−1/(2sinA)(→BC) …(3.1.4) となる。(→AO)は(→BC)と反対向きに平行で、その長さ|(→AO)|=R 「証明」 △ABCの「垂心H],「外心O」の「ベクトルによる重心座標表現」の三角関数表記は、 任意の点P∈E^2⊆E^m (m≧2)に対し、「コタンジェント(余接)」を用いて(2008.8~9月位のところ参照) (→PH)=cotBcotC(→PA)+cotCcotA(→PB)+cotAcotB(→PC) …(3.1.5) (→PO)=[1/(4sinAsinBsinC)][(sin2A)(→PA)+(sin2B)(→PB)+(sin2C)(→PC)] …(3.1.6)を 用いる。 (1) (→PH)では上の(3.1.5)から κ=cotBcotCだから、κ=1 ⇔ cotBcotC=1 ⇔ (cosBcosC)/(sinBsinC)=1 ⇔cosBcosC=sinBsinC ⇔cosBcosC− sinBsinC=0 ⇔ cos(B+C)=0 ここで 0°<B+C<180°だから ⇔ B+C=90°⇔ A=90°⇒ cotA=0,⇒ λ=cotCcotA=0,μ=cotAcotB=0 よって (κ,λ,μ)=(1,0,0)で「垂心H]の「ベクトルによる重心座標表現」は (→PH)=(→PA) ⇔ H=A これで(1)は証明された。 (2) (→PO)では上の(3.1.6)から κ=(sin2A)/[4sinAsinBsinC] だから κ=1 ⇔ (sin2A)/[4sinAsinBsinC] ⇔sin2A+sin2B+sin2C=sin2A (∵ sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC ) ⇔ sin2B+sin2C=0 ⇔sin(B+C)cos(B−C)=0 ⇔sinAcos(B−C)=0 ⇔cos(B−C)=0 −180° B−C 180°だから ⇔ B−C=±90° (ア)B=C+90°のとき、λ=(sin2B)/[4sinAsinBsinC],μ=(sin2C)/[4sinAsinBsinC] ここで、(sin2B)/[4sinAsinBsinC]=(2sinBcosB)/(4sinAsinBsinC)=cosB/(2sinAsinC) =cos(C+90°)/(2sinAsinC)=−sinC/(2sinAsinC)=−1/(2sinA) ゆえに λ=−1/(2sinA) …(3.1.7),同様にして μ=(cosC)/[2sinAsin(C+90°)]=1/(2sinA) …(3.1.8) よって(→PO)=(→PA)−1/(2sinA)(→PB)+1/(2sinA)(→PC) ⇔ (→PO)−(→PA)=1/(2sinA)[(→PC)−(→PB)] ⇔(→AO)=1/(2sinA)(→BC) また点Oは「外心」だから|(→AO)|=R または実際に |(→AO)|=1/(2sinA)|(→BC)|=a/(2sinA)=(2RsinA)/(2sinA)=R (∵ 正弦定理) (イ)C=B+90°のとき、λ=(sin2B)/[4sinAsinBsinC]=cosB/(2sinAcosB)=1/(2sinA) …(3.1.9) μ=(cosC)/[2sinAsinB]=−sinB/[2sinAsinB]=−1/(2sinA) …(3.1.10) 以下同様である。 4. △ABCの「垂心H」と「外心O」の「三線座標」を求めてみよう。 まず△ABCの面積をSとし、外接円の半径をRとおく。 このとき、正弦定理より、a=2RsinA ,b=2RsinB,c=2RsinC また、面積公式より 2S=bcsinA=casinB=absinC に注意すれば 「命題1.3]の「重心座標」と「三線座標」との関係は次のようになる。 「命題4.1」 α=(2RsinBsinC)κ ,β=(2RsinCsinA)λ ,γ=(2RsinAsinB)μ …(4.1.1) 「証明」 まず 2S/a=(bcsinA)/(2RsinA)=(bc)/(2R)=(2RsinB)(2RsinC)/(2R)=2RsinBsinC 同様に2S/b=(casinB)/(2RsinB)=2RsinCsinA ,2S/c=(ab)/(2R)=2RsinAsinB …(4.1.2) これより α=(2S/a)κ=(2RsinBsinC)κ ,β=(2S/b)λ=(2RsinCsinA)λ , γ=(2S/c)μ=(2RsinAsinB)μ (「命題4.1」の「証明」終わり ) 「命題4.2」 △ABCの「外接円」の半径をRとする。 (1) △ABCの「垂心H」の真の「三線座標」(α,β,γ)は α=2RcosBcosC ,β=2RcosCcosA ,γ=2RcosAcosB …(4.2.1) (2) △ABCの「外心O」の真の「三線座標」(α,β,γ)は α=RcosA , β=RcosB ,γ=RcosC …(4.2.2) 「証明」 (1)「垂心H」については、κ=cotBcotC ,λ=cotCcotA ,μ=cotAcotB だから 「命題4.1」により α=(2RsinBsinC)κ=(2RsinBsinC)×cotBcotC =(2RsinBsinC)×(cosBcosC)/(sinBsinC)=2RcosBcosC β=(2RsinCsinA)λ=(2RsinCsinA)×cotCcotA =(2RsinCsinA)×(cosCcosA)/(sinCsinA)=2RcosCcosA γ=(2RsinAsinB)μ=(2RsinAsinB)×cotAcotB =(2RsinAsinB)×(cosAcosB)/(sinCsinA)=2RcosAcosB (2)「外心O」については、 κ=[1/(4sinAsinBsinC)]sin2A,λ=[1/(4sinAsinBsinC)]sin2B,μ=[1/(4sinAsinBsinC)]sin2C だから「命題4.1」により α=(2RsinBsinC)κ=(2RsinBsinC)×[1/(4sinAsinBsinC)](sin2A) =(2RsinAcosA)/(2sinA)=RcosA β=(2RsinCsinA)λ=(2RsinCsinA)×[1/(4sinAsinBsinC)](sin2B)=RcosB γ=(2RsinAsinB)μ=(2RsinAsinB)×[1/(4sinAsinBsinC)](sin2C)=RcosC [命題4.3」 △ABCの「垂心H」,「外心O」の「三線座標」の簡単な比は次のようになる。 (1)△ABCの「垂心H」については、 「三線座標」の簡単な比は cosBcosC:cosCcosA:cosAcosB …(4.3.1) (2)△ABCの「外心O」の 「三線座標」の簡単な比は cosA:cosB cosC …(4.3.2) 5. 最後に 「命題5.1] △ABCの「垂心H」について、頂点Aから引いた垂線の足をH_A とすると、見かけ上の三点A,H,H_A は直線A(H_A)上にあるが、(→A(H_A))の向きを「正」と考えたとき、 AH=2RcosA …(5.1.1) ただし(→A(H_A))の向きの長さを「正の長さ」と考える。ベクトルを使えば (→AH)=(2RcosA)×[(→A(H_A))/|(→A(H_A))|] …(5.1.2) 「証明」 まず、「命題1.2.1]と(4.1.2)より |(→AH_A)|=h_A=2S/a=2RsinBsinC …(5.1.3) 「垂心H」ではκ=cotBcotCより 1−κ=1−cotBcotC=(sinBsinCーcosBcosC)/(sinBsinC)=−cos(B+C)/(sinBsinC) =−cos(180°−A)/(sinBsinC)=cosA/(sinBsinC) すなわち 1−κ=cosA/(sinBsinC) …(5.1.4) これから κ<1 ⇔ Aは鋭角,また κ >1 ⇔ Aは鈍角 そして 「命題1.2.2」より 「κ≠1のときに限り、(→AH)=(1−κ)(→AH_A)」 …(1.2.5)であった。 (ア)Aが鋭角のとき cosA>0で 1−κ>0 ⇒(→AH)と(→AH_A)は同じ向きだから、 AHは「正の長さ」といえる。よって AH=(1−κ)|(→AH_A)|=(1−κ)(h_A) すなわち AH=(1−κ)(h_A) …(5.1.5) これに(5.1.3)と(5.1.4)を代入して AH=cosA/(sinBsinC)×(2RsinBsinC)=2RcosA …(5.1.6) すなわち AH=2RcosA …(5.1.7) (イ)Aが鈍角のとき cosA<0で 1−κ<0 ⇒(→AH)と(→AH_A)は反対向きだから、 AHは「負の長さ」と考えられる。よって AH=(1−κ)(h_A) …(5.1.5) これに(5.1.3)と(5.1.4)を代入して AH=cosA/(sinBsinC)×(2RsinBsinC)=2RcosA …(5.1.6) すなわち AH=2RcosA …(5.1.7) (ウ)κ=cotBcotC=1のときは[命題3.1]の(1)でやったように A=90°,[垂心H]=[頂点A]であり、AH=0である。このときはA=90°なので 2RcosA=2Rcos90°=0となる。よって AH=2RcosA=0 となって AH=2RcosA …(5.1.7)は 成り立つ。 以上により AH=2RcosA が成り立つ。ただし(→A(H_A))の向きの長さを「正の長さ」と考える。 ([命題5.1]の「証明」終わり) [命題5.2] 「命題4.2」の△ABCの「外心O」の「三線座標」(α,β,γ)について OO^A=α=RcosAであることと、「命題5.1]の △ABCの「垂心H」について AH=2RcosAであることにより△ABCの「外心O」,「重心G」,「垂心H」について 「オイラー線の関係」が成り立つことが分かる。 「証明」 概略を示す。A≠90°のとき、「外心O」から直線BCに下した垂線の足を「O^A」とする。 点Aと点O^Aを結び、点Oと点Hを結び、その交点をXとすれば、△X(O^A)O∽△XAH となり、 AX:X(O^A)=AH:OO^A=2RcosA:RcosA=2:1,OX:XH=OO^A:AH=RcosA:2RcosA=1:2。 Oが「外心」よりO^Aが辺BCの中点になる。このことからA(O^A)は頂点Aからの「中線」で AX:X(O^A)=2 1,点Xは△ABCの「重心G」になりOG:GH=1:2となり △ABCの「外心O」,「重心G」,「垂心H」について「重心G」は線分OHを 1:2に内分している。 (この「証明」は△X(O^A)Oや△XAHができていることを仮定していて完全ではない。) ( [命題5.2]の「証明」終わり)
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概要 リムペットガン グラッジ グレネードランチャー イクシオン 迫撃砲 ホットフット エキゾチックレイ(特典) 概要 爆発する弾を射出する武器カテゴリー。 ロケットランチャーと似た爆発物が多いが、構えや起爆操作が要求されるなど、全体的にこちらの方が癖が強め。 素直な性能の武器が少なく扱い難い反面、うまく使えば独自の戦術を採れる。良くも悪くも個性が強い。 ●利点 ロケットランチャーと比較して、弾数・連射速度・リロード時間に優れるものが多い。 ●欠点 射程が短い武器が多い。コンバットウェポンと大差ない射程2桁mのものも珍しくない。 ロケットランチャーと比較して、直撃ボーナスや近接信管を持つ武器が少ない。そのため火力や命中率では一歩劣る。 リムペットガン オーナー:エアレイダー(EDF5) ●概要 吸着後、ズームボタンで起爆できる弾を発射するカテゴリ。ただし起爆させずに30秒間放置すると自動で爆発する。 敵以外にも壁や床などにも吸着できる。罠としても利用可能。 間違えて設置してしまったらリロードボタンで全て解除する事が可能。 残念ながらNPCに設置することはできない。 LV 名称 ダメージ 弾数 リロード(秒) 連射(発/秒) 射程(m) 精度 爆破半径 備考 1 リムペットガン 227 10 2 10 65 B(放物線) 6m 吸着式マニュアル起爆 2 リムペットショット 450 3 2 1 70 - 6m 散弾(450ダメージ×5発)吸着式マニュアル起爆 3 リムペットスナイプガン 2230 7 2 1 400 AAA 8m 吸着式マニュアル起爆 3 リムペットガン改 853 10 2 10 90 B(放物線) 6m 吸着式マニュアル起爆 4 リムペットヘビーガン 5493 1 2 1 200 A+(放物線) 12m 吸着式マニュアル起爆 グラッジ オーナー:インカブラザー ●概要 時限式・近接信管のグレネード弾を発射するカテゴリ。 グレネードランチャー系列と比較するとかなり癖の強い物が揃っている。その分ダメージや弾数等はこちらが優れている。 Ver.1.04(PS4版)では陸戦型グラッジのレベル表記が4だった。 ●ピックアップ + グラッジ・カトプシス グラッジ・カトプシス 発射した弾丸が射程限界に到達するとその場で静止し、敵が接近するか一定時間経過で爆発する。設置型の地雷や機雷のようなものをイメージすると分かりやすい弾丸は空中にも設置が可能 近接信管の範囲は赤い球形で視認できる。どうやら他武器の近接信管と比べてかなり範囲が広い模様 設置した弾丸の持続時間はそこそこ長く、およそ40秒ほどはもつ。リロード時間を考慮しても20〜30発の設置が可能 静止前の弾丸は建物・地面・敵等に当たっても爆発せず、反射して射程限界まで飛んでいく。このため特定の敵を狙って弾丸を設置するのは至難の技。持続時間の長さを活かし、弾幕を張るような運用がメイン 一応、弾丸を敵に直撃させた場合は僅かながらダメージが発生する。しかし2桁の極小ダメージであるため実用性は皆無 主力級の大群がこちらに向かってくるような状況で真価を発揮する 設置した弾がすべて爆発するまで自動リロードが始まらず、爆発前にプレイヤーがリロードボタンを押すと即リロード可能な点はリムペット系と同様だが、こちらはリロードしても設置済みの弾は消えないため、全弾発射→即リロードを繰り返すことで大量の近接信管地雷(機雷)を周囲に展開できる。この特徴はエアカスタムでも同様 LV 名称 ダメージ 弾数 リロード(秒) 連射(発/秒) 射程(m) 精度 爆破半径 備考 1 グラッジ 1755 12 4 1.5 60 AA(放物線) 20m 時限式 2 グラッジ・エアカスタム 4298 12 6 2 40 B(放物線) 20m 静止した後で近接信管に変わる 3 グラッジ・カトプシス 5528 12 6 2 80 A(放物線) 20m 静止した後で近接信管に変わる 3 陸戦型グラッジ 10197 1 1 1 30 AA(放物線) 25m 時限式 4 グラッジGD 8255 12 4 1.5 60 AA(放物線) 25m 時限式 グレネードランチャー オーナー:陸戦兵(EDF3) ●概要 放物線を描いて飛んで行くグレネード弾を発射するカテゴリ。 グラッジ系列と違って何かに接触した時点で爆発するため、比較的扱いやすい。 ●ピックアップ + グレネードランチャーUMAX グレネードランチャーUMAX 常ならば最上位に近いところに配置されている、伝統のグレポン。 最上位品もそうだが、爆発物としてはロケランより高い威力を誇り、巻き込めれば倒せる信頼性が売り。ロケットではないため曲射軌道を描く。射程や中距離での当てやすさには難があるが、高所から攻撃しやすい利点も。 読み方はユーマックス。ウマクスと読めることから転じてウマクソ→馬の糞→馬糞(ばふん)などという不名誉な略称で愛されてきた。 本家では、曲射とはいえスナイパーライフルと同程度の射程を持っており、対空や遠距離からの狙撃・爆撃も可能ではあり、一本で何でもこなす馬糞愛好会と呼ばれる猛者もいた。 + スタンピード スタンピード ショットガンの様に散弾でバラ撒くタイプのグレポン。こちらもシリーズでお馴染み。 辺り一面をまとめて爆破する為、敵グループをまとめて薙ぎ払うことができる。 発射角度を調節する事で爆破範囲を調節したり、あるいは接射で大ダメージを与えたりと多彩な状況に対応できる。が、爆破範囲を広めに取る運用をすると一発一発の威力が低いため主力級を倒せなかったり、弾が散らばるためそもそも大半が命中しなくなるなど信頼性に欠ける。基本的にはショットガン同様撃つべき敵に狙いを定めて運用する兵器。 当然ながら誤爆リスクは非常に高い。うっかり自分や味方を巻き込まない様に。 大量の爆発物を一斉発射するため、建造物の破壊が得意。 LV 名称 ダメージ 弾数 リロード(秒) 連射(発/秒) 射程(m) 精度 爆破半径 備考 1 グレネードランチャーUMAX 1090 8 2 1 60 A+(放物線) 15m 2 3連グレネードランチャー 3270 4 2.5 1 60 AAA(放物線) 15m 3way射撃 3 スタンピード 22540 1 5 1 60 放物線 10m 散弾(1127ダメージ×20発) 3 スタンピード・パーティ 1337 20 5 20 80 F+(放物線) 10m 20点バースト 4 グレネードランチャーUMAD 5000 8 2 1 80 A+(放物線) 20m イクシオン オーナー:サファリシスター ●概要 何かにぶつかると小規模な爆発を発生させるエネルギー弾を連射ないし散弾で撃ち出す系列。名前こそイクシオンだがどちらかというとEDF4のパワースリンガー系列に近い。 重力の影響をほとんど受けず、運用としてはアサルトライフルやショットガンのそれに近い。 爆破範囲もあって足止め性能は抜群。自爆についても痛手にはなりにくい。 本家シリーズのような極端なものではないが、弾道が移動慣性の影響を受ける。落下中に撃つと足元に着弾し自爆する危険性があるので注意。 LV 名称 ダメージ 弾数 リロード(秒) 連射(発/秒) 射程(m) 精度 爆破半径 備考 1 イクシオン 225 80 7 10 95 B 6m 2 イクシオンMX 319 80 2 10 120 B 6m 3 ダイナストZ 2780 16 7 8 100 - 6m 散弾(695ダメージ×4発) 3 ダイナストα 768 80 2 8 250 - 6m 散弾(192ダメージ×4発) 4 イクシオン・マーク4 1006 80 7 10 170 B 6m 迫撃砲 オーナー:パイレーツブラザー ●概要 グレネードランチャーよりも早く遠くに飛んで行く砲弾を撃ち出すカテゴリ。 全体的な性能はグレネードランチャーより優秀だが、代償としてトリガー中移動不能という欠点がある。 迫撃砲系は直撃ボーナスもあって準主力級相手にも高い打点を叩き出せるため、汎用性が高い。直撃ボーナスは爆風込みで記載数値の3倍になっている。 対空砲系は近接信管を持っており、多少ずれても攻撃範囲の広さから多くの敵を巻き込める。対空のみならず地上戦力にも有効。 ●ピックアップ + 対空砲 対空砲 HARD~HDSTの主力級を確殺可能な2930ダメージの爆風を半径20mに発生させる。構え動作が必要・移動不可という制約はあるものの、毎秒1.2発という連射速度と12発という多めの弾数、当てやすい近接信管により固定砲台となって連射すれば対地対空を問わず非常に強力な弾幕を展開できる。 準主力級に対しても、当てることさえできればノックバックにより弾切れまで連射できることが多い。 レッドカラーに対して当てると僅かに高度を下げつつ動きを止められるため、こちらも射角を落としながら打ち続けると連続ヒットが狙える。ただし他のレッドカラーがいると蜂の巣にされるので注意。 弱点は、近接信管と広い爆破範囲・高火力がもたらす自爆のリスクの高さ。構え動作も必要なので接近戦にはやや不向き。 移動不可という性質上、ペイルウィングなど機動戦が得意なブラザーとの相性が悪い。陸戦兵など地上戦力に持たせよう。ペイルウィング等で飛翔したあとブラザーチェンジして上空から空爆をしかけるといった運用は可能。下向きに撃つと着地と同時に自爆するので注意。 LV 名称 ダメージ 弾数 リロード(秒) 連射(発/秒) 射程(m) 精度 爆破半径 直撃ボーナス 発射遅延 備考 1 軽迫撃砲 729 12 6 1.2 180 A+(放物線) 15m 3倍 0.3秒 トリガー中移動不可 2 対空砲 2930 12 6 1.2 180 A+(放物線) 20m なし 0.3秒 トリガー中移動不可近接信管 3 迫撃砲 2740 12 6 1 270 A+(放物線) 20m 3倍 0.3秒 トリガー中移動不可 3 対空砲・弐式 5600 12 6 1.2 200 A+(放物線) 20m なし 0.3秒 トリガー中移動不可近接信管 4 軽迫撃砲・弐式 2329 18 6 2 220 A+(放物線) 15m 3倍 0.3秒 トリガー中移動不可 ホットフット オーナー:バトル(EDF IA) ●概要 命中すると小規模な爆発を起こす焼夷弾を連続発射するカテゴリ。 イクシオン系列と比較すると発射遅延等見劣りする部分は多いが、代わりにシールドが付いている。 シールドは自爆にも発動するため、自爆リスクが比較的低いのが長所。 中型以上相手にはよろけが取れず行動阻害できない欠点がある。小型はノックバックでズレるので実質よろけが取れ、固められる。 LV 名称 ダメージ 弾数 リロード(秒) 連射(発/秒) 射程(m) 精度 爆破半径 発射遅延 備考 1 ホットフット 259 60 9 6 100 C 6m 0.3秒 射撃中エイム速度低下 2 ホットフットScatter 864 40 9 4 120 - 6m 0.3秒 散弾(144ダメージ×6発)射撃中エイム速度低下 3 ホットフットBurst 930 60 9 6 130 B+ 8m 0.3秒 3点バースト射撃中エイム速度低下 3 ホットフットScatterII 1656 40 9 4 130 - 6m 0.3秒 散弾(276ダメージ×6発)射撃中エイム速度低下 4 ホットフットII 1302 60 9 6 150 C+ 6m 0.3秒 射撃中エイム速度低下 エキゾチックレイ(特典) オーナー:プロールライダ-(EDF IR)KR仕様 ●概要 赤いレーザーを照射し、およそ1.5秒後にレーザーが命中したポイントに爆発を起こす。レーザー自体にはダメージは無いが、怯ませる効果がある。 バースト射撃武器だが、いわゆるバーストディレイが存在しない。射撃ボタンを押しっ放しにすると弾切れまで途切れる事なくレーザーを照射し続ける。 バースト射撃はアビリティの使用、追加アクションの使用、キャラ切替で中断できる。21点バーストで隙も弾薬消費も激しいこの武器を扱う上では非常に重要なテクニック。 レーザーの射程は100m強と短めだが、弾速はスナイパーライフル並に速く、発射から一瞬で着弾する。 敵の群れに対して薙ぎ払うように照射する事で、主力級を殲滅できる。 装弾数に対してリロード時間が長い。 ●ピックアップ + エキゾチックレイ・ルドラ エキゾチックレイ・ルドラ DPS2.8万・弾倉火力12.6万を持つトンデモ武器。数値だけを見るなら火砲ではもちろん断トツの1位、全武器でもかなりの上位に位置する。 さすがにコンバットウェポンの最上位品と比較すると火力面では見劣りするが、これだけの火力がありながら100m以上の射程を持ち、爆発による範囲攻撃をも可能としている点がこの武器の強み ただしリロードが20秒と非常に長い。他キャラでのフォローは必須 LV 名称 ダメージ 弾数 リロード(秒) 連射(発/秒) 射程(m) 精度 爆破半径 備考 1 リグ・エキゾチックレイ 240 63 10 14 120 AAA 12m 21点バースト射撃中移動不可吸着・時限式 2 エキゾチックレイ 536 63 10 14 120 AAA 12m 21点バースト射撃中移動不可吸着・時限式 3 エキゾチックレイ改 536 105 5 14 120 AAA 15m 21点バースト射撃中移動不可吸着・時限式 3 エキゾチックレイ・インドラ 1004 63 12 14 260 AAA 15m 21点バースト射撃中移動不可吸着・時限式 4 エキゾチックレイ・ルドラ 2052 63 20 14 120 AAA 15m 21点バースト射撃中移動不可吸着・時限式
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通常バレット(ブラスト用) 自動販売機・よろず屋で購入できるブラスト用のバレット一覧。 威力は直撃した場合のものを示す。 BB系の詳細な効果についてはこちらを参照。 ブラスト用通常バレット一覧 ◯には各非物理属性に対応する単語(炎・氷・雷・神)が入る バレット名 威力 効果 弾道 消費OP 費用 備考 追尾弾:◯ 貫通:120 中ホーミング 22 10fc ロケット弾:◯ 破砕:765 貫通:195 合計:960 爆発 弱ホーミング 199 10fc モルター:◯ 破砕:180 貫通:120 合計:300 爆発 放物線 41 10fc 回復弾:BL HP回復:20 回復 強ホーミング 30 10fc モルターL:◯ 破砕:765 貫通:195 合計:960 爆発 放物線 185 10fc 機雷:◯爆 破砕:180 貫通:30 合計:210 爆発 その場で停止触れると爆発 30 10fc 罠:◯爆 破砕:80 貫通:147 合計:227 爆発 放物線地形に衝突後停止触れると爆発 46 10fc エミッター:◯ 破砕:120 放射 その場 16 10fc エミッターL:◯ 破砕:580 放射 その場 100 10fc 回復エミッターL HP回復:50 回復・放射 その場 95 10fc 範囲回復弾 HP回復:86 回復・爆発 強ホーミング 165 10fc BB・連続弾:◯ 貫通:600 貼付 弱ホーミング 93 100fc BB・大型状態回復弾 HP回復:86 回復・爆発 強ホーミング 198 100fc BB・充填機雷:◯ (最小)破砕:374 貫通:19 合計:393 貼付・爆発 その場で停止触れると爆発 133 100fc (最大)破砕:1382 貫通:71 合計:1453 BB・OP回復弾 HP回復:86 OP回復:71 回復・爆発 強ホーミング 165 100fc BB・識別弾:◯爆 破砕:765 貫通:195 合計:960 爆発 弱ホーミング 239 100fc BB・反重力弾:◯ 破砕:972 貫通:195※1 合計:1167 爆発 放物線 215 100fc BB・大型支援弾:攻 HP回復:86 回復・爆発 強ホーミング 198 100fc BB・大型支援弾:防 HP回復:86 回復・爆発 強ホーミング 198 100fc BB・誘導反射弾:◯ その場で停止 5 100fc BB・連続爆破弾:◯ 破砕:450 貫通:120※2 合計:570 爆発 放物線右15°・左12°・正面 325 100fc 試作ブラスト弾:◯ 貫通:324 上35°敵の方へ直進 64 100fc ※1限界まで上を向いた場合の参考値。 ※21発の威力(3発発射)。 メモ ここは質問・交流用コメント欄ではありません。編集に関する話題以外は禁止します。 名前
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このページはこちらに移転しました 俺の曲に詞をつけてくれ No.207 作曲/タマムシ 音源 上に開いた放物線 作詞/規制用1スレ712(413スレ7) 笑おう ほら ぎこちないその笑顔で それだけが それこそが そうだ君だけのもの 流行なんて気にしない 芸能人見ても気付かないよ 正面からふざけた顔 君はすました顔 クールぶってイヤな子って 聞こえてないワケじゃないんだろ? 笑おう ほら ただそれだけの事で 世界はこんなに広くなるんだよ 笑おう ほら ぎこちないその笑顔で その調子 その顔が 君の一番良い顔 一文字を 緩め 弱音 本音 吐いてしまおう 笑おう ほら ただそれだけの事で 世界はこんなに優しくなるんだよ 笑おう ほら ぎこちないその笑顔で その調子 その顔が 君の一番良い顔 そうだ君だけのもの 僕の好きな君だよ ※修正 *上に開いた放物線 作詞/規制用1スレ712(413スレ7) → *上に開いた放物線 作詞/規制用1スレ712(414スレ7)
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スクリプトを勉強しがてら戦闘エフェクト集みたいなモノを作ってみる。 だれかが先に作りそうな気がしないでもないが、目的は自分の勉強なので そのへんはどうでもいい。 いやー、sinカーブとかマジど忘れ。 まだ一個しかできてないよー!! 完成見込み?そんなモンは知らんな! カスタム連打 画像を読み込んで指定範囲に幾つか連続的に表示するというもの。 マシンガン射撃みたいなのを作っていたつもりだったが、 百烈拳みたいな使い方もできそうだねと。 あたりまえだが、画像は自分で用意してね。 編集画面はこんな感じ 個数 読み込む画像の表示数。いまのところ1~20 拡散 画像の広がりの範囲。MAXにすると画面全体に広がる 速さ 表示の速さ。 縦横比 画像の広がり方。プラス方向にMAXにすると横一線。マイナス方向MAXは縦一線 参照 画像ファイルの読み込み。好きな画像を読み込んでください 個数の最大値とか、速度とかはまだまだ検討中。 なんかねー。おしゃれじゃないんだよな-。 現状のスクリプトはこんなのです。 @カスタム連打 こんな状態でも使えそうならもってっちゃって。 これから作りたいモノ 剣撃 すぱっと白い軌跡がナナメに入るようなもの。 ワイプのさせ方を研究中 放物線 ファイヤーボールとか弓矢とか。画面手前から奥に向かって放物線上に飛んでいくようなモノ。 放物線を描く計算式がわからん 螺旋回転 くるくると螺旋を描きながら目標に向かっていくような動き 放物線と同様、螺旋起動を描く計算式に悪戦苦闘 火柱 画面下から上に向かって立ち上がるような動き そんなん作ろうと思ったらあったよw 「aviutl用効果 fire」湊 真希氏作 一線 横一線。縦一線ドラクエのブーメランとか、ムチとかのような動き まぁ、タダの想定だけどね。